Estudo das Cônicas |
Elementos da Parábola |
Elementos da Elipse |
Elementos da Hipérbole |
Exercícios propostos |
Diferentes seções que podemos fazer em um cone produzem o que chamamos de curvas cônicas: a parábola, a elipse e a hipérbole.
Definição
Consideremos um plano A: Um ponto P(x,y), uma reta d e uma curva s, contida em A.
Dizemos que a curva s é uma cônica se para todo ponto P de s a razão entre as distâncias de P até F e de P até d for constante:
Chama-se:
F à foco
D à diretriz
E = excentricidade= d(PF) /d(Pd)
Se e < 1, temos uma elipse; se e = 1, temos uma parábola; se e >1, temos uma hipérbole
Parábola
Def.: É o conjunto dos pontos de um plano, equidistantes de um ponto fixo F e de uma reta fixa d do plano.
Equações da Parábola:
Seja P(x,y) e F(k,0) então y2 = 4kx
Seja P(x,y) e F(0,k) então x2 = 4kx
Seja P(x,y) e F(m+k,n), então (y – n)2 = 4k(x – m)
Seja P(x, y) e F(m, n+k) então (x – m)2 = 4k (y – n)
Exemplo:
Determinar a equação da parábola cujo foco é o ponto f(0,-2) e cuja diretriz é a reta y=2.
Verificamos ser o caso b (eixo de simetria coincidente com o eixo dos y), então a equação é x2 = 4ky.
Substituindo o valor de k, temos: x2 = -8y ou, x2 + 8y = 0.
Elipse:
É o conjunto dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é constante.
Equações da elipse
Seja P(x,y) e 2a e 2b os eixos maiores e menores respectivamente,
Então
x2 / a2 + y2/b2 = 1
Seja P(x,y) e 2a e 2b os eixos maiores e menores respectivamente,
Então,
x2 / b2 + y2 / a2 = 1
Exemplo:
Obter a equação de uma elipse de vértices V1(0, -5) e V2(0, 5) e de focos F1(0, -2) e F2(0,2).
Trata-se do caso b (foco no eixo dos y)
Então,
x2 / b2 + y2 / a2 = 1
Sabemos que c = 2 e a = 5, podemos calcular b, ou seja:
a2 = b2 + c2, à 25 = b2 + 4 à b2 = 21
Substituindo os valores na equação temos:
x2 / 21 + y2 / 25 = 1 à 25x2 + 21y2 = 525
Hipérbole
Sejam F1 e F2 dois pontos fixos do plano. Chamamos de hipérbole ao conjunto dos pontos P do plano em que a diferença entre as distâncias de P a F1 e de P a F2 é constante.
Equações da hipérbole
Seja P(x,y) e a e b os semi-eixos reais (transverso) e imaginário (conjugado).
Então,
x2 / a2 - y2 / b2 = 1
Seja P(x,y) e a e b os semi-eixos transverso e conjugado.
Então,
x2 / b2 - y2 / a2 = 1
Exemplo
Obter a equação da hipérbole cujos focos são F1(-6,0) e F2(6,0) e cujos vértices são V1(-3,0) e V2(3,0).
Trata-se do caso a (foco no eixo dos x)
Então,
x2 / a2 - y2 / b2 = 1
Sabemos que
a = 3 e c = 6, como c2 = a2 + b2 à 36 = 9 + b2 à b2 = 27
Substituindo na fórmula, temos que:
x2 / 9 - y2 / 27 = 1 ou ainda à 3x2 – y2 = 27
Exercícios
1. Obter a equação da diretriz de uma parábola cuja equação é x2 + 4x + 4y + 12 = 0.
Resp = y = -1
2. Determine a equação da parábola cujo foco é o ponto F(0,5) e cuja diretriz é a reta y = 5.
Resp = x2 + 20y = 0
3. Determine a equação do conjunto de pontos equidistantes da reta y = -3 e do ponto fixo F(0,3).
Resp = x2 - 12y = 0
4. Escreva a equação da elipse que tem focos F1(3,0) e F2(-3,0) e cujos vértices são A1(5,0) e A2(-5,0).
Resp = x2 / 25 + y2 / 16 = 1
5. Qual é a equação da elipse cujos focos são F1(0,-1) e F2(0,1) e cujos vértices são A1(0,-4) e A2(0,4).
Resp = x2 / 15 + y2 / 16 = 1
6. Determine a equação de um hipérbole cujos focos são F1(0,-3) e F2(0,3) e cujos vértices são A1(0,-1) e A2(0,1).
Resp = x2 / 8 + y2 / 1 = 1