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Entendendo as funções
Definições
Características
Representação
Exercícios Resolvidos

Atendendo a muitos pedidos segue um resumo que preparei sobre "função", tentando explicar como é importante conhecer este conceito e saber trabalhar com as funções nos diversos temas da matemática.

Sejam algumas definições essenciais

Antes vamos entender o conceito de "relação". Dizemos que existe uma relação entre duas coisas quando existe um elo de ligação, uma correspondência, uma vinculação entre elas. Por exemplo:
A)uma colheita e o nível de chuvas numa região,
B)a temperatura e o volume de vendas de roupas pesadas numa cidade,
C)a dosagem de um remédio e a cura de uma doença
Usando a representação de conjuntos podemos visualizar estes exemplos mais facilmente. Dentro de cada conjunto podemos apresentar seus elementos (valores) e associá-los na relação. Assim, temos:

A)Colheita: tonelada                  Precipitação 1000 litros


B)Temperatura : ºC                 Volume de Vendas : R$

C)Dosagem do remédio : mcg                 % de melhora

Observe que do conjunto origem partem os elos de ligação ao conjunto destino. Assim, podemos ter as seguintes situações:

a)todos os elementos da origem tem um e somente um correspondente no destino.

b)existem elementos da origem sem correspondente no destino

c)existem elementos no destino sem correspondente na origem

d)existem elementos da origem com mais de um correspondente no destino

e)existem elementos do destino com mais de um correspondente na origem

Com esta noção de "relação" em mente e, particularmente, evidenciando as situações acima ilustradas, podemos definir o que vem a ser uma "função".
Entre as várias definições de função encontradas no Dicionário Aurélio, destaco: "...correspondência entre dois ou mais conjuntos". Porém, matematicamente falando, para termos uma função não basta haver a relação (correspondência) entre os elementos dos conjuntos. É necessário que:
1)todos os elementos da origem tenham correspondente no destino
2)existe apenas um elemento no destino para cada elemento na origem
Assim, nos ítens citados anteriormente somente as letras b e d não são funções, pois em b sobram elementos na origem (fere a condição 1) e em d existem dois elemntos no destino correspondentes ao mesmo elemento na origem (fere a condição 2).
Por outro lado, os demais ítens (a,c,e) são funções porque atendem as condições 1 e 2.
Agora, que já sabemos o que é função, vamos avançar em algumas definições complementares para o estudo das funções.

Definições complementares

a) Contradomínio
É o conjunto dos elementos do destino

b) Domínio
É o conjunto dos elementos da origem

c) Imagem
É o conjunto dos elementos do destino ligados pela função

Exemplificando, temos:


Domínio: A = {1,3,4,5}
Contradomínio: B = {2,5,6,8,10}
Imagem: I = {2,6,8,10}
Com base nessas definições podemos representar as funções de forma genérica. Representemos cada elemento do domínio pela letra x (variável independente) e cada elemento da imagem pela letra y (variável dependente). Assim, representariamos a função genéricamente como y=f(x) onde f é indicada por f: A -> B (A aplicado em B). Graficamente temos:

Se o os conjuntos A e B (origem e destino) são subconjuntos de |R (numeros reais) as funções recebem o nome de funções reais.
Exemplo
Se f: |R -> |R e f(x) = x2 + 1, calcule o conjunto imagem do domínio definido por A = {1,2,5}.
Neste caso, a origem (domínio) e o destino (contradomínio) são os números reais e cada elemento da origem está ligado ao elemento do destino pela expressão (função) x2 + 1, logo o conjunto imagem será I= {2,5,26}, já que:
y1 = f(1) = 1 + 1 = 2
y2 = f(2) = 4 + 1 = 5
y3 = f(5) = 25 + 1 = 26

Características particulares

As funções apresentam certas particularidades que precisam ser conhecidas. Assim temos:

a) Função par
Uma função f: A -> B é par se para cada x pertencente a A temos f(x) = f(-x)
Exemplo:
f(x) = x2 é par, pois:
f(x) = x2 e f(-x) = (-x)2 = x2
Logo, f(x) = f(-x), portanto f(x) é par

b) Função ímpar
Uma função f: A -> B é ímpar se para cada x pertencente a A, temos f(-x) = - f(x)
Exemplo
f(x) = x3
f(-x) = (-x)3= -x3
Logo, f(-x) = -f(x), portanto f(x) é ímpar

c) Função sobrejetora
Quando o contradomínio e a imagem de uma função são iguais, chamamos esta função de sobrejetora
Exemplo


Como o conjunto imagem e o contradomínio são o mesmo conjunto {3,5,7}, então f(x) é sobrejetora, isto é, todos os elementos do contadomínio tem correspondente no domínio.

d) Função injetora
Quando os elementos da imagem possuem um único elemento do domínio, chamamos esta função de injetora.
Exemplo:

Como os elementos da imagem {3,5,7} estão ligados a apenas um elemento do domínio {1,3,5}, então f(x) é injetora

e) Função bijetora
Quando uma função é ao mesmo tempo sobrejetora e injetora chamamos esta função de bijetora.
Exemplo:

Como os elementos do contradominio {6,8,10} são os mesmos da imagem e só existe um único elo de ligação entre esses elementos, então f(x) é sobrejetora e injetora, logo é bijetora.

f) Função inversa
Sendo f:A -> B uma função bijetora, chama-se função inversa de f, a função f -1: B -> A tal que se (a,b) pertence a f então (b,a) pertence a f -1
Exemplo
Se o consumo de combustivel é uma função da distancia percorrida a distancia percorrida é uma função inversa do consumo de combustivel.
Então se:

Logo

Observação:
Só pode existir a função f -1(x) se f(x) for bijetora.
Na realidade o que acontece na função inversa f -1(x) é a troca da imagem de f(x) pelo seu domínio. Assim, dada uma função y=f(x) o que devemos fazer para obter a sua inversa ( somente se esta for bijetora, é claro) é o seguinte:
1º ) trocamos x por y e y por x
2º ) isolamos o y
Exemplo:
Seja y=f(x)=3x + 2
Então:
1º ) trocamos x por y:    x = 3y + 2
2º ) isolamos y :   3y = x - 2, ou seja y = (x-2) / 3
logo, a função inversa de f(x) = 3x + 2 é f -1(x) = (x-2) / 3
Se verificarmos veremos, por exemplo, que:
f(1) = 3.1 + 2 = 5, que nos dá o par ordenado (1,5)
Se fizermos f -1 (5) = (5 - 2) / 3 = 1, que nos dá o par (5,1)
Comparando os pares ordenados verificamos a troca de y(imagem) pelo x(dominio)

Função Composta

Quando estabelecemos uma função f(x) entre dois conjuntos e verificamos existir uma nova função g(x) entre o conjunto imagem da função anterior e um novo conjunto, chamamos de função composta aquela que liga diretamente os elementos do primeiro conjunto com este último.
Exemplo:

Definindo:
Dado f: A -> B e g: B -> C, chama-se de função composta de g e f a função de A -> C definida por g(f(x)) para todo x pertencente a A, e representa-se por:
g(f(x)) = (g o f) (x)
Exemplo:
Seja f(x) = 300 + 10x e g(x) = (x - 100) / 5
Então (g o f) (x) será g(f(x)), ou seja:
g(f(x)) = [(300 + 10x) - 100] / 5
g(f(x)) = (200 + 10x) / 5 = 40 + 2x
Então : (g o f) (x) = 40 + 2x
Isto quer dizer que com esta nova função h(x) = 40 + 2x podemos atingir o último conjunto diretamente sem passar pelo segundo conjunto, conforme ilustração a seguir:

Representação no Sistema Cartesiano Ortogonal

A forma intuitiva do aprendizado das funções através da representação de conjuntos é trocada, na prática, pelo Sistema Cartesiano, onde colocamos o domínio no eixo do x e o contradomínio (onde estarão as imagens) no eixo do y.
Desta forma podemos visualizar melhor os pares ordenados (x,y) e o comportamento das funções que se deseja estudar.
Assim temos:

Desta forma, inclusive, fica fácil identificar se determinada relação é uma função ou não.
Exemplo:

Conforme verificamos no gráfico, não se trata de uma função ,já que de um elemento do domínio parte mais de um elo de ligação no contradomínio.

Comportamento de uma função

Analisando o gráfico de uma função nos eixos cartesianos podemos observar detalhes importante como:

a) Raiz ou zero de uma função
Os pontos onde o gráfico da função corta o eixo do x são chamados de raízes da função e pelo fato de suas ordenadas serem nulas dá-se, também, o nome de zeros da função.
Exemplo:


Os pontos 1 e 5 são os zeros ou raízes da função f(x).

b) Sinal de uma função
A função é dita positiva (f(x) > 0 ) em todos os pontos acima do eixo do x e negativa (f(x) < 0 ) em todos os pontos abaixo do eixo do x.
Exemplo:

Nos pontos 'a esquerda de 1 e 'a direita de 5, f(x) é positiva (+) e entre os pontos 1 e 5 é negativa (-).

c)Função crescente e decrescente
Se num determinado intervalo ao aumento de x acarreta o aumento de y a função é dita crescente. Se, por outro lado, o aumento de x provoca o decréscimo de y, então a função é dita decrescente.
Exemplo:

No intervalo entre os pontos 0 e 2 f(x) é decrescente. já entre os pontos 2 e 4 ela é crescente.

Exercícios Resolvidos

1) Dado A = {-2, 0, 1, 2, 7} e a função f : A -> |R onde f(x) = 2x -1, pergunta-se:
a) Qual o domínio de f?
b) Qual a imagem de f?
c) Qual o valor de h=[ f(-2) + 4f(0) ] / [f(1) - f(7) ] ?

Resolvendo:
a) D = A = {-2,0,1,2,7}
b) Como f(x) = 2x -1, o conjunto imagem terá os elementos:
f(-2) = 2. -2 - 1 = -5
f(0) = 2. 0 - 1 = -1
f(1) = 2. 1 - 1 = 1
f(2) = 2. 2 - 1 = 3
f(7) = 2. 7 - 1 = 13
Então:
I = {-5,-1,1,3,13}
c) Se f(-2) = -5, f(0) = -1, f(1) = 1 e f(7) = 13, entâo:
h = [ -5 + 4.(-1) ] / [1 - 13] = -9 / -12 = 3/4

2) Dados:
A = { x pertence a |N | x < 7 } e b = { x pertence a |N | x é par }
a função f : A -> B onde f(x) = 2x
Qual o domínio e a imagem de f ?

Resolvendo:
O domínio de f é o próprio A= {0,1,2,3,4,5,6}
Aplicando a função f(x) = 2x no domínio A , temos os elementos:
f(0) = 0, f(1) = 2, f(3) = 6, f(4) = 8, f(5) = 10. f(6) = 12
logo, a imagem de f é dada pelo conjunto I = {0,2,4,6,8,10,12}

3) Obtenha o elemento da função f: |R -> |R onde f(x) = {2x +1 ) / 5 cuja imagem é igual a 3.

Resolvendo:
Como y = f(x) e sabemos o valor da imagem (y, no caso), então basta calcularmos:
3 = (2x + 1) / 5 ou seja 15 = 2x + 1, ou ainda 2x = 14 , logo x = 7

4) Na figura a seguir a área y da região azulada é uma função de x


Determine:
a) a área y = f(x)
b) a área quando x = 3 cm
c) o valor de x para uma área de 64cm2

Resolvendo:
a) a área nada mais é do que o valor da área sem o deslocamento de x, menos a área produzida pelo seu (de x) deslocamento.
Então:
y = 96 - (12-x).(8-x), que simplificando nos dá y = 20x - x2
b) para x = 3, temos f(3) = 20.3 - 9 = 51
c) Se y = 64, então 64 = 20x - x2
Resolvendo a equação temos duas raízes (16 e 4) onde somente x = 4 atende ao problema.

5) Dado h(x) = (x2 + 1 ) 1/2, calcule a sua inversa

Resolvendo :
1º) trocando x por y, temos : x = (y2 + 1)1/2
2º) isolando y. temos : x2 = y2 + 1
y2 = x2 - 1, logo y = (x2 - 1) 1/2
Então h-1(x) = (x2 - 1) 1/2

6) Sendo f(x) = x2 - 1, calcule (f o f -1) (x)

Resolvendo:
Se y = f(x) = x2 - 1, para calcular f -1(x), temos:
x=y2 - 1 ou y2 = x + 1 logo y = (x + 1)1/2
Então (f o f-1) (x) = f ( f-1(x)) = [ ((x+1)1/2)2 - 1 ] = x + 1 - 1 = x

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