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No estudo da Análise Combinatória), aprendemos o conceito de Fatorial
de um número. Assim, por exemplo, sabemos que o fatorial de 6 é o produto 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1, ou
seja 720. De forma genérica, portanto, n! = n.(n-1).(n-2). ... até 1.
Em decorrência, temos que:
n! = n.(n-1)! e assim, sucessivamente.
Com esta definição em mente vamos aprender um conceito importante, o de Coeficiente
Binomial
Dados dois números naturais n e p, sendo n >= p, chamamos de coeficiente binomial de
n sobre p, e indicamos por (np), da seguinte maneira:
(np) = n! / [p!.(n-p)!]
Observar conforme estudo da Análise Combinatória, que estamos tratando da mesma fórmula para o cálculo das combinações.
Assim, temos que:
(np) = Cn,p
Assim, por exemplo, temos:
(107) =
C10,7 = 10! / [7! 3!] = 120
(73)= C7,3 = 7! / [3!4!] = 35
Casos particulares:
(n0)= n! / [0!n!] = n! / [1 n!] = 1
(n1)= n! / [1!(n-1)!] = n(n-1)! / (n-1)! = n
(nn)= n! / [n! 0!] = 1
Então, por exemplo, temos que:
(30)= 1
(51)= 5
(66)= 1
É importante termos em mente esta definição de coeficientes binomiais para estudarmos
o desenvolvimento do Binômio de Newton.
Antes, vamos verificar alguns pontos importantes para podermos aplicar no estudo do Binômio de Newton. Assim, temos;
a)binômios complementares
Dizemos que dois coeficientes binomiais de mesmo numerador são complementares quando a soma
de seus denominadores é igual ao numerador, ou seja:
(np) e (nq)são complementares se p+q=n
Exemplos:
(73) e (74);
(85) e (83) ....
Propriedade; Dois coeficientes complementares são iguais.
Então:
(np) = (nq)
Se p=q ou n=p+q onde n>=p e n>=q
b)triângulo de Pascal
Os coeficientes binomiais podem ser dispostos em uma tabela chamada "triângulo de Pascal",
da seguinte maneira:
(00)
(10)(11)
(20)(21)(22)
...................
(n0)(n1)(n2)..........(nn)
Nesta tabela, verifica-se que:
1)os coeficientes binomiais equidistantes dos extremos são iguais, por serem complementares
2)cada elemento de uma linha (a partir da segunda) é igual à soma do elemento imediatamente acima com o seu anterior.
Esta propriedade é conhecida como Relação de Stifel, que pode ser enunciada assim:
(np) = (n-1p) + (n-1p-1), onde n>=p
3) a soma dos elementos da linha de numerador n é igual a 2n, ou seja
(n0)+(n1)+(n2)+ ... + (nn)= 2n
Para fecharmos o estudo preparatório ao Binômio de Newton devemos rever a definição de somatório.
O símbolo E (somatório) representa a soma de certo número de parcelas, que são indicadas no próprio símbolo. Assim, temos:
E3i=1 i3 = 13+23+33=1+8+27=36
Com estes conceitos e definições, podemos agora estudar o Binômio de Newton
Sejam dois números reais a e b e um número natual n. Sabemos que:
para n=0 ==> (a+b)0=1
para n=1 ==> (a+b)1=1a+1b
para n=2 ==> (a+b)2=1a2+2ab+1b2
para n=3 ==> (a+b)3=1a3+3a2b+3ab2+1b3
À medida que n vai aumentando, os produtos deixam de ser notáveis e passam a ficar mais complexos.
Observando o crescimento de n, notamos que:
1)os expoentes do 1º termo (a) decresce de n até zero.
2)os expoentes do 2º termo (b) cresce de zero até n
3)os coeficientes correspondem ordenadamente às linhas do triângulo de Pascal
Desta forma podemos enunciar que:
(a+b)n=(n0)anb0+
(n1)an-1b1+ ... +
(nn-1)a1bn-1+
(nn)a0bn
Utilizando a representação do somatóriopodemos enunciar o teorema binomial como:
(a+b)n=Enk=0(nk)an-kbk
Exemplo:
(a-1)5=(50)a5-(51)a4+(52)a3-
(53)a2+(54)a-(55)=a5-5a4+10a3-10a2+5a-1
Termo Geral do BinômioMuitas vezes temos que saber um termo específico de desenvolvimento
de (a+b)n e, dependendo do valor de n, é extremamente trabalhoso
desenvolvermos todo o binômio para conhecer o termo desejado. Para isto,
precisamos encontrar uma expressão que represente qualquer termo do desenvolvimento
de (a+b)n e, a partir desta expressão, determinar o termo procurado.
(a+b)n=(n0)anb0+
(n1)an-1b1+ ... +
(nn-1)a1bn-1+
(nn)a0bn
Chamamos de termo geral a expressão
(nk)an-kbk, onde k=0,1,2,3, ..., n
Assim se quizermos calcular o p-ésimo termo, basta fazermos k=p-1
Exemplo:
Calcular o 6º termo de (x-2y)8
O termo geral é:
(8k)(x)8-k(-2y)k = (8k)(-2)kx8-kyk
Se queremos o 6º termo, então k=5, logo o termo procurado é:
(85)(-2)5x3y5=1792 x3y5
Outro exemplo
Qual o coeficiente de x8 no desenvolvimento de (x2/3 + 2)8
Pelo termo geral, temos que:
(8k)(x2/3)8-k2k
(8k)(1/3)8-k(x2)8-k2k
Se queremos o coeficiente de x8 é necessário que
x16-2k = x8 logo k=4
Então, o coeficiente procurado é :
(84)(1/3)424 = 1120/81
Exercícios resolvidos:
1 - Resolva a equação
(x-3)! = 1
Podemos dizer que:
(x-3)! = 0!
logo x - 3 = 0, então x=3
Por outro lado, podemos ter também:
(x-3)! = 1!
logo x-3 =1, então x=4
Logo, as soluções são x=3 e/ou x=4
2 - Determine m que verifique (122m-1) = (12m+4)
Pela igualdade, temos:
2m-1 = m+4, logo m=5
Também, podemos supor que seja binoômios complementares, então
2m -1 + m + 4 = 12, logo m=3
3 - Aplicando a Relação de Stifel, calcule: (105) + (106)
Pela relação de Stifel temos que:
(np) = (n-1p) + (n-1p-1)
Então, temos que:
(106) + (105) = (116), ou seja:
(116) = 11! / [ 6! 5! ] = 462
4 - Dado (pq+1) = 15 e (pq+2) = 6, calcule (p+1q+2)
Pela Relação de Stifel, temos que:
(np) = (n-1p) + (n-1p-1)
Aplicando a relação aos dados, temos:
(p+1q+2) = (pq+2) + (pq+1)
ou seja:
(p+1q+2) = 6 + 15 = 21
5 - Calcule E4n=1(4n).(3/4)4-n.(1/4)n
Para n=1, temos:
(41)(3/4)3(1/4) = 27 / 43 (1)
Para n=2, temos:
(np)(3/4)2(1/4)2 = 54 / 44 (2)
Para n=3, temos:
(43)(3/4)1(1/4)3 = 3 / 43 (3)
Para n=4, temos:
(44)(3/4)0(1/4)4 = 1 / 44 (4)
Somando-se, (1),(2),(3) e (4), temos que:
27/43 + 54/44 + 3/43 + 1/44 = 175 / 256
Exercícios propostos:
1 - Qual a solução de
[(n+1)!] / [(n-1)!] = 210 ?
Resposta:
n=14
2 - Sendo
(18k) = (18k+4) quanto vale
k!?
Resposta:
5040
3 - No desenvolvimento de
( x - 1/x ) 12 qual é o termo médio ?
Resposta;
(126)
4 - No desenvolvimento de
(x + 1) 50, qual é o coeficiente de termo de 2º grau?
Resposta:
1225
5 - No desenvolvimento de
(2x2 + 1/x)8, segundo potências decrescentes de
x,
qual é o coeficiente do 5º termo ?
Resposta:
1120