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Binômio de Newton
Definições
Termo Geral
Exercícios Resolvidos
Exercícios propostos

No estudo da Análise Combinatória), aprendemos o conceito de Fatorial de um número. Assim, por exemplo, sabemos que o fatorial de 6 é o produto 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1, ou seja 720. De forma genérica, portanto, n! = n.(n-1).(n-2). ... até 1.

Em decorrência, temos que:
n! = n.(n-1)! e assim, sucessivamente.

Com esta definição em mente vamos aprender um conceito importante, o de Coeficiente Binomial

Dados dois números naturais n e p, sendo n >= p, chamamos de coeficiente binomial de n sobre p, e indicamos por (np), da seguinte maneira:

(np) = n! / [p!.(n-p)!]

Observar conforme estudo da Análise Combinatória, que estamos tratando da mesma fórmula para o cálculo das combinações. Assim, temos que:

(np) = Cn,p

Assim, por exemplo, temos:

(107) = C10,7 = 10! / [7! 3!] = 120
(73)= C7,3 = 7! / [3!4!] = 35

Casos particulares:

(n0)= n! / [0!n!] = n! / [1 n!] = 1
(n1)= n! / [1!(n-1)!] = n(n-1)! / (n-1)! = n
(nn)= n! / [n! 0!] = 1

Então, por exemplo, temos que:

(30)= 1
(51)= 5
(66)= 1

É importante termos em mente esta definição de coeficientes binomiais para estudarmos o desenvolvimento do Binômio de Newton. Antes, vamos verificar alguns pontos importantes para podermos aplicar no estudo do Binômio de Newton. Assim, temos;

a)binômios complementares
Dizemos que dois coeficientes binomiais de mesmo numerador são complementares quando a soma de seus denominadores é igual ao numerador, ou seja:

(np) e (nq)são complementares se p+q=n

Exemplos:
(73) e (74);
(85) e (83) ....

Propriedade; Dois coeficientes complementares são iguais.

Então:
(np) = (nq)
Se p=q ou n=p+q onde n>=p e n>=q

b)triângulo de Pascal
Os coeficientes binomiais podem ser dispostos em uma tabela chamada "triângulo de Pascal", da seguinte maneira:
(00)
(10)(11)
(20)(21)(22)
...................
(n0)(n1)(n2)..........(nn)
Nesta tabela, verifica-se que:

1)os coeficientes binomiais equidistantes dos extremos são iguais, por serem complementares
2)cada elemento de uma linha (a partir da segunda) é igual à soma do elemento imediatamente acima com o seu anterior. Esta propriedade é conhecida como Relação de Stifel, que pode ser enunciada assim:

(np) = (n-1p) + (n-1p-1), onde n>=p

3) a soma dos elementos da linha de numerador n é igual a 2n, ou seja

(n0)+(n1)+(n2)+ ... + (nn)= 2n

Para fecharmos o estudo preparatório ao Binômio de Newton devemos rever a definição de somatório. O símbolo E (somatório) representa a soma de certo número de parcelas, que são indicadas no próprio símbolo. Assim, temos:

E3i=1 i3 = 13+23+33=1+8+27=36

Com estes conceitos e definições, podemos agora estudar o Binômio de Newton
Sejam dois números reais a e b e um número natual n. Sabemos que:

para n=0 ==> (a+b)0=1
para n=1 ==> (a+b)1=1a+1b
para n=2 ==> (a+b)2=1a2+2ab+1b2
para n=3 ==> (a+b)3=1a3+3a2b+3ab2+1b3

À medida que n vai aumentando, os produtos deixam de ser notáveis e passam a ficar mais complexos. Observando o crescimento de n, notamos que:

1)os expoentes do 1º termo (a) decresce de n até zero.
2)os expoentes do 2º termo (b) cresce de zero até n
3)os coeficientes correspondem ordenadamente às linhas do triângulo de Pascal

 Desta forma podemos enunciar que:

(a+b)n=(n0)anb0+ (n1)an-1b1+ ... + (nn-1)a1bn-1+ (nn)a0bn

Utilizando a representação do somatóriopodemos enunciar o teorema binomial como:
(a+b)n=Enk=0(nk)an-kbk

Exemplo:
(a-1)5=(50)a5-(51)a4+(52)a3- (53)a2+(54)a-(55)=a5-5a4+10a3-10a2+5a-1

Termo Geral do Binômio

Muitas vezes temos que saber um termo específico de desenvolvimento de (a+b)n e, dependendo do valor de n, é extremamente trabalhoso desenvolvermos todo o binômio para conhecer o termo desejado. Para isto, precisamos encontrar uma expressão que represente qualquer termo do desenvolvimento de (a+b)n e, a partir desta expressão, determinar o termo procurado.

(a+b)n=(n0)anb0+ (n1)an-1b1+ ... + (nn-1)a1bn-1+ (nn)a0bn

 Chamamos de termo geral a expressão

(nk)an-kbk, onde k=0,1,2,3, ..., n

Assim se quizermos calcular o p-ésimo termo, basta fazermos k=p-1

 Exemplo:
Calcular o 6º termo de (x-2y)8
O termo geral é:
(8k)(x)8-k(-2y)k = (8k)(-2)kx8-kyk
Se queremos o 6º termo, então k=5, logo o termo procurado é:
(85)(-2)5x3y5=1792 x3y5

 Outro exemplo

Qual o coeficiente de x8 no desenvolvimento de (x2/3 + 2)8
Pelo termo geral, temos que:
(8k)(x2/3)8-k2k
(8k)(1/3)8-k(x2)8-k2k
Se queremos o coeficiente de x8 é necessário que
x16-2k = x8 logo k=4
Então, o coeficiente procurado é :
(84)(1/3)424 = 1120/81

 Exercícios resolvidos:


1 - Resolva a equação (x-3)! = 1
Podemos dizer que:
(x-3)! = 0!
logo x - 3 = 0, então x=3
Por outro lado, podemos ter também:
(x-3)! = 1!
logo x-3 =1, então x=4
Logo, as soluções são x=3 e/ou x=4

2 - Determine m que verifique (122m-1) = (12m+4)
Pela igualdade, temos:
2m-1 = m+4, logo m=5
Também, podemos supor que seja binoômios complementares, então
2m -1 + m + 4 = 12, logo m=3

3 - Aplicando a Relação de Stifel, calcule: (105) + (106)
Pela relação de Stifel temos que:
(np) = (n-1p) + (n-1p-1)
Então, temos que:
(106) + (105) = (116), ou seja:
(116) = 11! / [ 6! 5! ] = 462

4 - Dado (pq+1) = 15 e (pq+2) = 6, calcule (p+1q+2)
Pela Relação de Stifel, temos que:
(np) = (n-1p) + (n-1p-1)
Aplicando a relação aos dados, temos:
(p+1q+2) = (pq+2) + (pq+1)
ou seja:
(p+1q+2) = 6 + 15 = 21

5 - Calcule E4n=1(4n).(3/4)4-n.(1/4)n
Para n=1, temos:
(41)(3/4)3(1/4) = 27 / 43 (1)
Para n=2, temos:
(np)(3/4)2(1/4)2 = 54 / 44 (2)
Para n=3, temos:
(43)(3/4)1(1/4)3 = 3 / 43 (3)
Para n=4, temos:
(44)(3/4)0(1/4)4 = 1 / 44 (4)
Somando-se, (1),(2),(3) e (4), temos que:
27/43 + 54/44 + 3/43 + 1/44 = 175 / 256


Exercícios propostos:


1 - Qual a solução de [(n+1)!] / [(n-1)!] = 210 ?
Resposta: n=14

2 - Sendo (18k) = (18k+4) quanto vale k!?
Resposta: 5040

3 - No desenvolvimento de ( x - 1/x ) 12 qual é o termo médio ?
Resposta; (126)

4 - No desenvolvimento de (x + 1) 50, qual é o coeficiente de termo de 2º grau?
Resposta: 1225

5 - No desenvolvimento de (2x2 + 1/x)8, segundo potências decrescentes de x, qual é o coeficiente do 5º termo ?
Resposta: 1120
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