VOLTAR

Bhaskara em detalhes


Se existe uma fórmula matemática que ninguém esquece(às vezes, alguns se confundem) é a famosa fórmula de Bhaskara para resolver as equações do tipo ax2 + bx + c = 0. Entretanto, poucos sabem (ou já se esqueceram) como se chegou à referida fórmula.


Para satisfazer a curiosidade de alguns e ativar a memória de outros, vamos verificar os procedimentos de resolução da equação de 2º grau que nos levaram à fórmula de Bhaskara.

Seja, por exemplo, resolver a equação: x2 + 6x - 27 = 0

Esta equação equivale a x2 + 6x = 27, que podemos decompor em:

x2 + 3x + 3x = 27 (I)


Vamos fazer uma representação gráfica do 1º membro da equação


Vamos agora completar na representação gráfica um quadrado


Olhando as duas representações, temos um quadrado de lado x, cuja área é x2 e dois retângulos de lados 3 e x, cuja área é representada por 3x.
A soma das áreas, portanto, é x2 + 6x, e conforme (I), temos x2 + 6x = 27.
Observe na figura em que formamos um quadrado de lado x + 3, precisamos acrescentar o quadrado de área 9. Então, a área do quadrado completo é de 27 + 9 = 36. Como o lado deste quadrado mede x + 3podemos afirmar que:
(x + 3)2 = 36, ou seja x+ 3 = 6 (II)

Resolvendo (II) temos que x = 3, que é uma das raízes da equação dada.

Verificamos, entretanto, que pelo método geométrico teremos duas desvantagens:
1) não resolve todas as equações do 2º grau
2) Fornece apenas as raízes positivas das equações


Como geometricamente não podemos sempre resolver as referidas equações, vamos aproveitar o método e trabalhar algebricamente

Usando o mesmo método de completar um quadrado que nos auxilie na resolução de ax2 + bx + c = 0 (III), vamos dividir a equação por "a" a fim de termos o quadrado de área x2.

Então, podemos reescrever (III):

ax2/a + bx/a + c/a = 0


ou seja
x2 + b/a x + c/a = 0

Temos que completar o quadrado com o duplo produto (os dois outros quadrados da figura), que podemos representar como:

b/a x = 2x b/2a

Como x é o primeiro componente do quadrado, b/2a será o segundo componente e a equação fica
x2 + 2x.b/2a + c/a = 0

Para o quadrado ficar perfeito, temos que adicionar o quadrado do 2º componente, conforme o método geométrico, ou seja, temos que adicionar (b/2a)2. Se colocarmos este quadrado em ambos os membros da equação não a modificamos.
Então, temos que:
x2 + 2x.b/2a + (b/2a)2 + c/a = (b/2a)2

Explicitando melhor o quadrado construido, temos que:
(x + b/2a)2 + c/a = (b/2a)2

ou ainda
(x + b/2a)2 = (b/2a)2 - c/a = b2/4a2 - c/a

ou seja
(x + b/2a)2 = (b2 - 4ac) / 4a2

Extraindo a raiz quadrada, temos que:
x + b/2a = ± ((b2 - 4ac)/4a2)½

ou ainda
x = -b/2a ± (b2 - 4ac)½

ou, finalmente
x = (-b ± (b2 - 4ac)½) / 2a

que vem a ser a famosa fórmula de Bhaskara.

Agora, sabendo a fórmula fica fácil resolver (I), ou seja:

x = (-6 ± (36 + 108)½)) / 2

ou seja, x = -9 e x = 3


Observe que, se por um acaso você não lembrasse da fórmula de Bhaskara, mas soubesse que ela se originou no ajustamento de um quadrado (usando os coeficientes a, b e c) iria, com certeza, resolver a equação dada, mesmo sem utilizar a referida fórmula ( ou melhor, utilizando-a sem saber).


Se você tiver alguma curiosidade matemática, e que ache ser interessante envie-me, e publicarei neste site a sua contribuição identificada

VOLTAR