Uma fórmula importante
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Já imaginaram uma fórmula contendo a base do sistema de logarítmos neperianos, a unidade dos números imaginários, o número p e por fim o zero e a unidade ?
Pois é, o matemático Leonardo Euler conseguiu esta proeza.
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Assim como Beethoven, apesar de surdo, não deixou de compor, o matemático Leonardo Euler manteve sua produção matemática depois de ter ficado cego.
Aos 28 anos Euler perdeu a visão do olho direito, por isso seus retratos eram tirados de perfil esquerdo. Aos 60 anos ficou totalmente cego, o que não foi obstáculo para continuar suas pesquisas matemáticas. Normalmente, quando se perde um sentido os demais ficam aguçados e, no caso da visão, há um forte aumento no poder de concentração da pessoa. Assim foi com Euler, que continuou a fazer seus trabalhos com maior poder de concentração e com sua memória prodigiosa calculava de maneira assombrosa.
Entre seus trabalhos destaca-se a importante fórmula:
eix = cos x + i sen x
Nesta fórmula, se substituirmos x por p , temos:
ei p + 1 = 0
que contém os cinco mais importantes números da matemática:
e - base do sistema de logarítmos neperianos
i - unidade dos números imaginários
p - razão do comprimento da circunferência e o seu diâmetro
além do zero e da unidade.
A fórmula de Euler é extremamente importante no cálculo do produto e do quociente de dois números complexos. Assim, temos que:
eix = cos x + i sen x
Sejam z1 e z2, dois números complexos:
1) O produto é dado por:
z1 . z2 = |z1| |z2| e(x1 + x2)= |z1| |z2| [ cos(x1 + x2) + isen(x1 + x2)]
2) A divisão é dada por:
z1 / z2 = |z1| / |z2| e(x1 - x2) = |z1| / |z2| [ cos(x1 - x2) + isen(x1 - x2)]
Devemos lembrar também que Abraham De Moivre, matemático frances (1667-1754) deu continuidade 'as operações com os números complexos, baseado nas fórmulas de Euler, desenvolvendo o cálculo da potência e radiciação de dois números complexos. Assim, temos as famosas fórmulas de De Moivre:
1) A potenciação é dada por:
zn = |z|n e inx = |z| (cos nx + isen nx)
A radiciação é dada por:
z1/n = |z|1/n exp [i.(x+2k p) / n ] = |z|1/n ( cos (x+2k p) /n + i sen (x+2k p) /n )
onde k = 0,1,2,3, ... ,n-1
Reparem que sem estas fórmulas de Euler e De Moivre seria bastante complicado efetuar cálculos de produto, divisão, potência e radiciação de números complexos na forma algébrica.