Seja a figura abaixo:
Então, a área do triângulo OAB mede:
AOAB = 1/2 . R2 sen (3600 / n)
Como o polígono regular inscrito, de forma geral, possui n lados, então a área total do polígono será:
AOAB = 1/2 . R2. n sen (3600 / n)
Ora, precisamos também saber a relação entre a medida do lado do polígono inscrito e o raio do círculo circunscrito, para podermos usar a fórmula achada. Voltemos a figura original, destacando o lado do polígono:
Temos que:
l2 = R2 + R2 - 2R2cos a
l2 = 2 R2 ( 1 - cos a )
o que nos leva à fórmula:
l = R [ 2(1 - cos a )]1/2
Façamos um exemplo:
Seja um hexágono (n = 6), então a relação entre l e R será:
l = R [ 2(1 - cos 60)]1/2
l = R (2(1 - 1/2)]1/2
l = R (2. 1/2)1/2
ou seja l = R
Substituindo na fórmula da área do polígono, temos:
Ap = 1/2 . 6. l2 sen 600, ou seja
Ap = 3/2 . 31/2. l2
Temos que:
OB=OA=R, o raio do círculo circunscrito
AB é um dos lados do polígono inscrito
o ângulo central a = 360 graus / n, sendo n maior ou igual a 3
h = altura do triângulo OAB, onde h = R sen a
OB=OA=R, o raio do círculo circunscrito
AB é um dos lados do polígono inscrito
o ângulo central a = 360 graus / n, sendo n maior ou igual a 3
h = altura do triângulo OAB, onde h = R sen a
Então, a área do triângulo OAB mede:
AOAB = 1/2 . R2 sen (3600 / n)
Como o polígono regular inscrito, de forma geral, possui n lados, então a área total do polígono será:
AOAB = 1/2 . R2. n sen (3600 / n)
Ora, precisamos também saber a relação entre a medida do lado do polígono inscrito e o raio do círculo circunscrito, para podermos usar a fórmula achada. Voltemos a figura original, destacando o lado do polígono:
Temos que:
l2 = R2 + R2 - 2R2cos a
l2 = 2 R2 ( 1 - cos a )
o que nos leva à fórmula:
l = R [ 2(1 - cos a )]1/2
Façamos um exemplo:
Seja um hexágono (n = 6), então a relação entre l e R será:
l = R [ 2(1 - cos 60)]1/2
l = R (2(1 - 1/2)]1/2
l = R (2. 1/2)1/2
ou seja l = R
Substituindo na fórmula da área do polígono, temos:
Ap = 1/2 . 6. l2 sen 600, ou seja
Ap = 3/2 . 31/2. l2
Vejamos um fato curioso desta descoberta:
Se formos aumentando n (número de lados do polígono) de forma infinita, chegaremos à area do círculo. Sendo assim, façamos alguns experimentos, aumentando o valor de n. Por exemplo:
Observe, que se continuarmos aumentando o valor de n, chegaremos ao que já conhecemos, isto é, a área do círculo, conhecida como pR2.
Se formos aumentando n (número de lados do polígono) de forma infinita, chegaremos à area do círculo. Sendo assim, façamos alguns experimentos, aumentando o valor de n. Por exemplo:
| n | Ap |
| 16 | 3,06147 R2 |
| 32 | 3,12145 R2 |
| 64 | 3,13655 R2 |
| 128 | 3,14033 R2 |
| 256 | 3,14128 R2 |
| 512 | 3,14151 R2 |
| 1024 | 3,14157 R2 |
| 2048 | 3,14158 R2 |
| 4096 | 3,14159 R2 |
Observe, que se continuarmos aumentando o valor de n, chegaremos ao que já conhecemos, isto é, a área do círculo, conhecida como pR2.