Uma das aplicações interessantes da Matemática no nosso cotidiano são as equações diofantinas. Estas equações, de primeiro grau, nos levam às diversas soluções inteiras que podem resolver tais equações. Aplicando-se restrições à uma solução geral, de forma parametrizada, podemos obter uma ou mais soluções que atendam ao que se deseja.

Vejamos um exemplo e um dos métodos de solução.

Uma garota recebeu R$ 50,00 para comprar dois tipos de lanches para um piquenique com suas amigas. Depois de pesquisar, conseguiu o preço de R$ 4,00 por hamburguer e de R$ 6,00 por mini-pizza. De quantas maneiras ela pode comprar a sua parte do lanche para o piquenique ?

Para resolvermos este problema devemos ter em mente que a solução precisa envolver números inteiros, pois a garota não pode comprar fração do hamburguer, nem fração da mini-pizza. É portanto tipico de uma equação diofantina.

Façamos x como sendo a quantidade de hamburguers e y como sendo a quantidade de mini-pizzas. Então, temos que:

4x + 6y = 50, ou melhor ainda 2x + 3y = 25 (I)
Como o mdc (2,3) = 1 e 1 divide 25, logo é possivel termos soluções inteiras. (Na dúvida veja o ítem 8 - Teoria dos Números, nesta mesma seção do site).

Uma solução possível seria: x = 2 e y = 7, pois de (I), temos 2(2) + 3(7) = 25

Se quizermos uma solução geral podemos parametrizar. Seja um inteiro t. Observando os coeficientes de x e y (2 e 3, respectivamente) e que o mdc(2,3) =1, podemos escrever que:

x = (2) + 3t e y = (7) - 2t

Como x,y > 0 temos que 2 + 3t > 0 e 7 - 2t > 0
Resolvendo cada uma delas temos que t > -2/3 e t < 3,5
Os valores inteiros de t que se encontram no intervalo são: 0, 1, 2 e 3
Logo, as soluções possíveis são:
Quando t = 0, temos x = 2 e y = 7
Quando t = 1, temos x = 5 e y = 5
Quando t = 2, temos x = 8 e y = 3
Quando t = 3, temos x = 11 e y = 1

Ou seja, a garota poderia comprar com os R$ 50,00:

2 hamburgues e 7 mini-pizzas ou
5 hamburgues e 5 mini-pizzas ou
8 hamburgues e 3 mini-pizzas ou
11 hamburgues e 1 mini-pizza

Se você tiver algum bom exemplo de aplicação da matemática, e que ache ser interessante envie-me, e publicarei neste site a sua contribuição identificada

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