“A MATEMÁTICA NA CIÊNCIA DOS MATERIAIS”
(Artigo entregue como colaboração de José Benedito Marcomini - [email protected])
Na ciência dos Materiais , vemos a matemática traduzindo a organização dos átomos para formar estruturas e conferir propriedades aos materiais.
Essencialmente ,
todos os metais , uma grande parte das cerâmicas e certos polímeros ,
cristalizam-se quando se solidificam. Isto significa que os átomos se arranjam
em modelos tridimensionais , ordenados e repetidos (vide figura abaixo). Os átomos se
posicionam de tal forma que , unindo-se
estas posições , apresentam-se formas geométricas bem definidas.
Define-se célula unitária como a menor porção do
cristal que conserva suas propriedades ,e conseqüentemente suas características
geométricas.Em meados do século XX , o cientista francês A. Bravais descobriu
que estes cristais poderiam ser classificados em sete (07) sistemas (Tabela
1) que dão origem a catorze (14) tipos
de reticulados cristalinos(vide figura após a tabela).
Tabela 1 – Classificação dos
sistemas cristalinos de Bravais.
SISTEMAS |
EIXOS |
ÂNGULOS ENTRE
OS EIXOS |
CÚBICO |
a=b=c |
Todos os ângulos = 900 |
TETRAGONAL |
a=b¹c |
Todos os ângulos = 900 |
ORTORRÔMBICO |
a¹b¹c |
Todos os ângulos = 900 |
MONOCLÍNICO |
a¹b¹c |
2 ângulos = 900 e 1 ângulo ¹ 900 |
TRICLÍNICO |
a¹b¹c |
Todos ângulos diferentes e nenhum igual a 900 |
HEXAGONAL |
a1=a2=a3¹c |
3 ângulos = 900 e 1 ângulo = 1200 |
ROMBOÉDRICO |
a=b=c |
Todos os ângulos iguais, mas diferentes de 900 |
As 14 redes de Bravais .
Vários materiais apresentam esse tipo de estrutura ,
como o nosso sal de cozinha , o NaCl ,
que apresenta uma estrutura CFC (Cúbica de Face Centrada ).
O aço , dependendo de sua composição química
e da temperatura , pode apresentar uma estrutura CCC(Cúbica de Corpo
Centrado) ou CFC.
Uma das características mais importantes dessas
estruturas é o Fator de Empacotamento Atômico (FEA) . Este fator pode nos
ajudar a prever algumas propriedades dos materiais.O Fator de Empacotamento
Atômico leva em consideração o modelo de átomos esféricos e nos fornece a
fração de volume realmente ocupada pelos átomos na célula unitária.
Este fator é calculado através da pura geometria
espacial e plana. Por exemplo , podemos calcular o FEA para o sal de cozinha ,
NaCl , que apresenta uma célula unitária com reticulado CFC(como na figura abaixo). Definimos o
FEA , como:
FEA = N x Volume dos átomos/ Volume da célula
unitária.
A célula unitária é um cubo de lado a
, que é chamado de “parâmetro de rede”.
Desse modo , o volume da célula unitária seria a³.
Assim
, precisamos encontrar o valor de a.
Desse modo , teremos , por Pitágoras:
(4R)² = a² + a²
a = 2.√2.R Assim , o volume da célula unitária será : Vc = 16R³.√2
Para calcularmos o número de átomos por célula
unitária não podemos esquecer que os átomos dos vértices são compartilhados
entre 8 células unitárias , portanto teremos 1/8 de átomo em cada vértice .Os
átomos das faces são compartilhados por duas célula unitárias , então teremos ½
átomo por face. Desse modo o número de átomos em uma célula unitária será:
N = 8.1/8 + 6 .1/2 = 4 .
Assim , o FEA
pára o NaCl será :
FEA = 4 x (4/3 .p.R³)/16R³.2½ ;
FEA = 0,74 ou 74%
Além do fator de empacotamento , podemos estudar
planos atômicos com características especiais. Um dos mecanismos , em nível
microscópico , que explica a deformação de metais é o deslizamento de
semi-planos atômicos . Algumas estruturas apresentam planos preferenciais onde
ocorrem esses deslizamentos.
Para estudar os planos atômicos , temos que imaginar
que os materiais são formados por vários planos de átomos sobrepostos ,que
formam , como já vimos as estruturas cristalinas.
Caracterizamos estes planos atômicos através dos “
Índices de Miller” . Os índices de Miller de um plano são obtidos a partir da
interpretação da Equação Geral do Plano
:
X/a + Y/b + Z/c = 1 (I) , onde a.,b e c referem-se
às posições de intersecção do plano com os eixos X,Y e Z.
Podemos definir índices h,k e l ,onde : h = 1/a; k =
1/b; l = 1/c.
Podemos reescrever a equação (I) , como:
hX + kY + lZ = 1 ;
h ,k e l são os índices de Miller.
A figura a seguir mostra um exemplo de planos atômicos em
uma célula unitária.
Note que h,k e l também são as coordenadas do vetor
perpendicular ao plano , que parte da origem dos eixos.Este vetor também
caracteriza o plano atômico.
Índices de Miller.
Esta é apenas uma pequena parte da aplicação da
matemática à Ciência dos Materiais.
Diante desses fatos , não é difícil acreditar que “
A matemática é a chave do Universo”. Assertiva , esta , atribuída a um Anjo...
Em minha modesta opinião ,a matemática é a linguagem
utilizada para traduzir para a inteligência humana , o que a Inteligência
Divina criou!
José Benedito Marcomini ([email protected])