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“A MATEMÁTICA NA CIÊNCIA DOS MATERIAIS”
(Artigo entregue como colaboração de José Benedito Marcomini - engbene@yahoo.com.br)

Na ciência dos Materiais , vemos a matemática traduzindo a organização dos átomos para formar estruturas e conferir propriedades aos materiais.

Essencialmente , todos os metais , uma grande parte das cerâmicas e certos polímeros , cristalizam-se quando se solidificam. Isto significa que os átomos se arranjam em modelos tridimensionais , ordenados e repetidos (vide figura abaixo). Os átomos se posicionam de tal forma  que , unindo-se estas posições , apresentam-se formas geométricas bem definidas.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


                                      Exemplo de estrutura tridimensional.

a) Representa uma célula unitária mostrando como os átomos ficam realmente dispostos.
b)Representa uma célula unitária didaticamente para facilitar cálculos geométricos.
c)Representa a disposição desta célula dentro do material.

Define-se célula unitária como a menor porção do cristal que conserva suas propriedades ,e conseqüentemente suas características geométricas.Em meados do século XX , o cientista francês A. Bravais descobriu que estes cristais poderiam ser classificados em sete (07) sistemas (Tabela 1)  que dão origem a catorze (14) tipos de reticulados cristalinos(vide figura após a tabela).

 

Tabela 1 – Classificação dos sistemas cristalinos de Bravais.

 

SISTEMAS

 

EIXOS

 

ÂNGULOS ENTRE OS EIXOS

 

CÚBICO

a=b=c

Todos os ângulos = 900

TETRAGONAL

a=b¹c

Todos os ângulos = 900

ORTORRÔMBICO

a¹b¹c

Todos os ângulos = 900

MONOCLÍNICO

a¹b¹c

2 ângulos = 900 e 1 ângulo ¹ 900

TRICLÍNICO

a¹b¹c

Todos ângulos diferentes e nenhum igual a 900

HEXAGONAL

a1=a2=a3¹c

3 ângulos = 900 e 1 ângulo = 1200

ROMBOÉDRICO

a=b=c

Todos os ângulos iguais,  mas diferentes de 900

                             

 

 
As 14 redes de Bravais .


Vários materiais apresentam esse tipo de estrutura , como o nosso sal de cozinha , o NaCl  , que apresenta uma estrutura CFC (Cúbica de Face Centrada ). O aço , dependendo de sua composição química  e da temperatura , pode apresentar uma estrutura CCC(Cúbica de Corpo Centrado) ou CFC.

Uma das características mais importantes dessas estruturas é o Fator de Empacotamento Atômico (FEA) . Este fator pode nos ajudar a prever algumas propriedades dos materiais.O Fator de Empacotamento Atômico leva em consideração o modelo de átomos esféricos e nos fornece a fração de volume realmente ocupada pelos átomos na célula unitária.

Este fator é calculado através da pura geometria espacial e plana. Por exemplo , podemos calcular o FEA para o sal de cozinha , NaCl , que apresenta uma célula unitária com reticulado CFC(como na figura abaixo). Definimos o FEA , como:

 

FEA = N x Volume dos átomos/ Volume da célula unitária.

 

A célula unitária é um cubo de lado a  , que é chamado de “parâmetro de rede”.

Desse modo , o volume da célula unitária seria .

Assim , precisamos encontrar o valor de a.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Desse modo , teremos , por Pitágoras:

 

(4R)² = a² + a²

 

a = 2.2.R    Assim , o volume da célula  unitária será : Vc = 16R³.√2

 

Calculamos, então , o volume de cada átomos: V = 4/3.p.R³

 

Para calcularmos o número de átomos por célula unitária não podemos esquecer que os átomos dos vértices são compartilhados entre 8 células unitárias , portanto teremos 1/8 de átomo em cada vértice .Os átomos das faces são compartilhados por duas célula unitárias , então teremos ½ átomo por face. Desse modo o número de átomos em uma célula unitária será:

                N = 8.1/8 + 6 .1/2 =  4 .

 

Assim , o FEA  pára o NaCl será :

 

                                                 FEA = 4 x (4/3 .p.R³)/16R³.2½ ;

                                                 FEA =  0,74  ou 74%

 

 

Além do fator de empacotamento , podemos estudar planos atômicos com características especiais. Um dos mecanismos , em nível microscópico , que explica a deformação de metais é o deslizamento de semi-planos atômicos . Algumas estruturas apresentam planos preferenciais onde ocorrem esses deslizamentos.

 

Para estudar os planos atômicos , temos que imaginar que os materiais são formados por vários planos de átomos sobrepostos ,que formam , como já vimos as estruturas cristalinas.

Caracterizamos estes planos atômicos através dos “ Índices de Miller” . Os índices de Miller de um plano são obtidos a partir da interpretação da  Equação Geral do Plano :

 

X/a + Y/b + Z/c = 1 (I) , onde a.,b e c referem-se às posições de intersecção do plano com os eixos X,Y e Z.

Podemos definir índices h,k e l ,onde : h = 1/a; k = 1/b; l = 1/c.

Podemos reescrever a equação (I) , como:

 

                   hX  + kY + lZ = 1 ;

 

h ,k e l são os índices de Miller.

 

A figura a seguir mostra um exemplo de planos atômicos em uma célula unitária.

Note que h,k e l também são as coordenadas do vetor perpendicular ao plano , que parte da origem dos eixos.Este vetor também caracteriza o plano atômico.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Índices de Miller.

 

Esta é apenas uma pequena parte da aplicação da matemática à Ciência dos Materiais.

Diante desses fatos , não é difícil acreditar que “ A matemática é a chave do Universo”. Assertiva , esta , atribuída a um Anjo...

Em minha modesta opinião ,a matemática é a linguagem utilizada para traduzir para a inteligência humana , o que a Inteligência Divina criou!

 

                                                                                  José Benedito Marcomini (engbene@yahoo.com.br)

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