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Sucesso ou Fracasso


Uma das aplicações do estudo das Probabilidades é aquela que se refere aos eventos independentes complementares.
Quando o evento tem sempre uma dualidade certo/errado, sucesso/fracasso, sim/não, etc, podemos determinar suas probabilidades através do método Binomial.
O método é dado por:
P(p,q) = Cn,k . pk . qn-k

onde:
p = probabilidade do evento ocorrer (sucesso)
q = probabilidade do evento não ocorrer (fracasso)
como p e q são complementares, então q = 1 - p


Assim, vamos dar uma série de exemplos práticos onde pode ser determinada a probabilidade dos eventos usando-se o método binomial.

Exemplo 1

Uma prova possui 10 questões com 5 alternativas cada. Se um aluno "chutar" todas as respostas, qual a probabilidade dele acertar 4 questões da prova ?


Temos então:
Probabilidade de acertar cada questão : p = 1/5
Probabilidade de errar cada questão : q = 1 - p = 1 - 1/5 = 4/5
Empregando o método para verificar a probabilidade de acertar as 4 questões temos:
P = C10,4 . (1/5)4 . (4/5)6
ou seja:
P @ 0,09

Exemplo 2

Um dado é jogado seis vezes. Qual a probabilidade de sair a face 6, cinco vezes ?


Temos então:
Probabilidade de sair o número 6 : p = 1/6
Probabilidade de não sair o número 6 : q = 1-p = 5/6
Então:
Probabilidade de sair o 6, 5 vezes.
P = C6,5 . (1/6)5 . (5/6)1
ou seja
P @ 0,0006

Exemplo 3

A probabilidade de um atirador de elite acertar um sequestrador sem ferir o sequestrado é de 1/5.Dando, este atirador, 3 tiros seguidos, qual a probabilidade dele não acertar o criminoso, podendo acertar a vítima ?


Temos então:
Probabilidade de acertar o criminoso : p = 1/5
Probabilidade de não acertar o criminoso : q = 1-p = 4/5
Probabilidade de não acertar o criminoso após os disparos:
P = C3,0 . (1/5)0 . (4/5)3
ou seja
P @ 0,51

Exemplo 4

Um casal pretende ter 4 filhos. Qual a probabilidade de ter 3 meninos e 1 menina?


Temos então
Probabilidade de ser menino : p = 1/2
Probabilidade de ser menina : q = 1-p = 1/2
Probabilidade de 3 meninos e 1 menina
P = C4,3 . (1/2)3 . (1/2)1
ou seja
P = 0,25

Exemplo 5

Numa cidade, 20% da população é favorável a um determinado candidato. Se seis eleitores forem selecionados ao acaso,com reposição na seleção, qual a probabilidade de que mais da metade deles seja favorável a este candidato ?


Temos então
Probabilidade do candidato: p= 20%=20/100=1/5.
Logo q = 1 - p = 4/5
Para termos mais da metade dos seis selecionados, precisamos calcular as probabilidades de 4 eleitores, 5 eleitores e 6 eleitores, já que a metade deles é 3.
Temos então
P4 = C6,4 . (1/5)4 . (4/5)2
P5 = C6,5 . (1/5)5 . (4/5)1
P6 = C6,6 . (1/5)6 . (4/5)0
Logo:
P = P4 + P5 + P6
ou seja
P @ 0,00768 + 0,00768 + 0,00006 @ 0,02

Como se vê, muitos desses exemplos nos mostram que no dia-a-dia nos deparamos com a aplicação deste simples método binomial e muitas vêzes não sabemos resolver o impasse


Se você tiver algum bom exemplo de aplicação da matemática, e que ache ser interessante envie-me, e publicarei neste site a sua contribuição identificada

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