Muitas vezes nos deparamos com problemas envolvendo números( naturais, inteiros, racionais, ...) que nos parecem simples de resolver, através de experimentações ou tentativas, mas verificamos uma certa complexidade na solução do problema. A teoria elementar dos números é muito necessária para se resolver esse tipo de problema.
Esses problemas, com os quais podemos nos defrontar em nosso dia-a-dia, parecem ser resolvidos com o que, antes de conhecermos a Álgebra, chamávamos de Aritmética. Entretanto, é necessário aprender ( ou relembrar, para alguns) algumas noções da teoria dos números para resolvermos estas questões com mais tranquilidade

Vejamos alguns exemplos práticos

1º caso:

Determinar os inteiros positivos a e b tais que ab = 9900 e mmc(a,b) = 330.

Para resolvermos este problema devemos ter em mente que:
mdc(a,b) . mmc(a,b) = |ab|
Então
d = mdc(a,b) = 9900 / 330 = 30
Seja: a = d.a₁ e b = d.b₁
Então
ab = d².a₁.b₁
onde
a₁b₁ = ab / d² = 9900 / 900 = 11
logo temos a₁ = 1 e b₁ = 11
ou a₁ = 11 e b₁ = 1
Então:
a = 30.1 = 30 ou a = 30. 11 = 330
b = 30.11 = 330 e b = 30 . 1 = 30
Logo os números 30 e 330 resolvem a questão.

2º caso

Determinar os inteiros positivos a e b, tais que: a + b = 581 e mmc(a,b) / mdc(a,b) = 240

Neste caso, devemos ter em mente da teoria dos números que:
mmc(a,b) = |ab| / mdc(a,b)
Usando a mesma nomenclatura do exemplo anterior, temos que:
mmc(a,b) / mdc(a,b) = ab / d² = a₁b₁
Logo
a₁b₁ = 240 = 2⁴ . 3 . 5
logo
(a + b) = d(a₁ + b₁) = 581 = 7. 83
d, neste caso, pode assumir os valores 1, 7, 83, 7.83, cada um formando um par de equações conforme a seguir:
1) d = 1, sendo a₁+b₁ = 581
Então: a₁b₁ = 240 e a₁+b₁ = 581
2) d = 7, sendo a₁+b₁ = 83
Então:
a₁b₁ = 240 e a₁+b₁ = 83
3) d = 83, sendo a₁+b₁ = 7
Então:
a₁b₁ = 240 e a₁+b₁ = 7
4) d = 7.83, sendo a₁+b₁ = 1
Neste caso, a₁ = 0 e b₁ = 0, o que não é válido já que ambos são diferentes de zero. Resolvendo as alternativas 1, 2 e 3 vemos que somente a segunda (d=7) produz valores inteiros, ou seja a₁ = 80 e b₁ = 3 que nos dão os valores procurados, ou seja a = 80 . 7 = 560 e b = 3 . 7 = 21

3º caso

Em dois tipos de botijões (56 litros e 72 litros) qual o número mínimo de botijões devemos ter para comportar 328 litros?

Pelo enunciado temos que resolver a equação diofantina (solução indeterminada inteira):
56x + 72y = 328
Seja o cálculo do mdc(72,56)
Pelo desenvolvimento, temos que
72 = 1.56 + 16 (1)
56 = 3. 16 + 8 (2)
16 = 2.8
De (1), temos que:
16 = 1.72 - 1.56 (3)
Substituindo (3) em (2), temos que:
56 = 3.(1.72 - 1.56) + 8, ou seja 8 = 4.56 - 3.72
Paremos aqui e tenhamos em mente da teoria dos números que:
"Sejam a, b e c inteiros e d= mdc(a,b). A equação diofantina aX + bY = c tem solução se e somente se d é divisor de c"
e também
"Sejam a, b, c inteiros tais que d=mdc(a,b) divide c.Escrevendo d na forma d = ra + sb, com r e s inteiros, temos que: x₀ = r.c/d e y₀ = s.c/d como solução particular de aX+bY=c e x=r.c/d + (b/d)t e y = s.c/d - (a/d)t como solução genérica de aX+bY=c"

Voltando onde paramos, temos que:

r = 4 e s = -3
Como solução particular teríamos: x₀ = 4.328/8 = 164 e y₀ = -3.328/8 = -123
Vemos que não nos serve pois o valor de y é negativo
Verifiquemos, então, a solução genérica:
x =164 + 72/8 t = 200 + 9t e y = -123 - 56/8 t = -150 -7t (4)
Como precisamos que x > 0 e y > 0, então
164 + 9t > 0 e -123 - 7t > 0
ou seja: t > -18,1 e t < - 17,5 (5)
A solução inteira que satisfaz (5) é t = 18
Substituindo esse valor em (4), temos que:
x = 2 e y = 3, que respondem ao enunciado do problema.


4º Caso

Determine o resto da divisão de 3⁶⁰ por 28

Para resolver esta questão, destacamos da teoria dos números:

Se m não nulo é um número inteiro fixo. Dois outros inteiros a e b são congruentes módulo m se m divide a-b. Nota-se a = b(mod m).
Suas propriedades são:
1) a=a(mod m)
2) Se a=b(mod m) então b=a(mod m)
3)Se a=b(mod m) e b=c(mod m) então a=c(mod m)
4)Se a=b(mod m) e c=d(mod m) então a+c=b+d(mod m)
5)Se a=b(mod m) então a+c = b+c(mod m)
6)Se a=b(mod m) e c=d(mod m) então ac=bd(mod m)
7)Se a=b(mod m) então aⁿ=bⁿ(mod m) para n positivo e inteiro
8)Se a+c=b+c(mod m) então a=b(mod m)

Então
3⁶⁰ = 28q + r onde 3⁶⁰ = r(mod 28)
Se 3³ = 27 então 3³= -1 (mod 28)
ou ainda
(3³)²⁰ = (-1)²⁰(mod 28)
ou seja 3⁶⁰ = 1 (mod 28), logo o resto é igual a 1

5º Caso

Determinar o algarismos das unidades de 3¹²⁰

Para resolver esta questão devemos ter em mente da teoria dos números que

Se a=a_n10ⁿ + a_n-110^n-1 + ... + a₁10 + a₀ então a=a₀(mod 10)
Devemos então determinar x tal que 3¹²⁰ = x(mod 10)
então
3² = -1(mod 10)
pelas propriedades, temos que:
3⁴ = 1(mod 10)
ou ainda
(3⁴)³⁰ = (1)³⁰(mod 10)
Então o algarismo das unidades é 1.

Como se v�, muitos desses exemplos parecem ser de aplicação numérica simples, muitas vezes resolvidos por tentativas, mas requerem o conhecimento de certos conceitos para a sua resolução