Uma das boas coisas da álgebra é que ela nos permite descobrir propriedades interessantes em sequências numéricas. E, uma vez descobertas essas propriedades, pode-se surpreender as pessoas, ao se resolver mentalmente (sem realizar nenhum cálculo escrito) e rapidamente muitas expressões numéricas.
Comecemos com o exmplo de Bogdanov-Belski (1895) ao resolver rapidamente e mentalmente a expressão
(102 + 112 + 122 + 132 + 142) / 365
Pois bem, os números 10,11,12,13, e 14 guardam entre si uma propriedade curiosa:
102 + 112 + 122 = 132 + 142
Como 132 + 142 = 169 + 196 = 365, então, conhecendo-se esta propriedade é fácil afirmar que o valor da expressão é 2
Agora, com um procedimento algébrico podemos descobrir se esta sequência é unica ou existe outra sequência com a mesma propriedade.
Então, vejamos:
Seja a sequência de 5 números consecutivos: x, x+1, x+2, x+3, x+4. Se tiverem a propriedade é necessário que:
x2 + (x+1)2 + (x+2)2 = (x+3)2 + (x+4)2
Para facilitar os cálculos vamos fazer o segundo número igual x. Então, teremos:
(x-1)2 + x2 + (x+1)2 = (x+2)2 + (x+3)2
Desenvolvendo e simplificando, temos que:
x2 - 10x -11 = 0
Resolvendo, temos que:
x1 = (10+12) / 2 = 11 e x2 = (10-12)/2 = -1
Então duas sequências atendem a propriedade, a saber:
10,11,12,13,14 e -2, -1, 0, 1, 2
Como se vê, a álgebra nos ajuda facilmente a descobrir as sequências com uma determinada propriedade.
Vamos agora para um outro exemplo:
Achar 3 números consecutivos tais que o quadrado do número central supere uma unidade do produto dos números extremos.
Algebricamente seria:
(x+1)2 = x(x+2) + 1, ou seja x2 + 2x + 1 = x2 + 2x + 1
Agora a álgebra nos mostra uma identidade. Por ser identidade significa que qualquer valor de x a resolve. Por isso, 3 números consecutivos, sejam quais forem, possuem tal propriedade. Por exemplo:
9, 10 e 11. Neste caso: 102 = 9.11 + 1
Se reaplicarmos a álgebra verificamos facilmente esta propriedade pois,
x2 = (x+1)(x-1) + 1
trocando a unidade de membro, temos que: x2 - 1 = (x+1)(x-1) que é um dos nossos conhecidos produtos notáveis.
Continuando nossa brincadeira vamos a outro exemplo:
Os números 46 e 96 possuem uma propriedade curiosa: o produto deles não se altera mesmo que seus algarismos troquem de ordem.
Realmente 46.96 = 4416 = 64.69
Mais uma vez a álgebra pode nos ajudar a verificar se existem outros números de dois algarismos que gozem da mesma propriedade.
Façamos então x, y, z, t os algarismos dos números em questão. Então, para terem esta propriedade devem atender 'a expressão:
(10x+y)(10z+t) = (10y+x)(10t+z)
Resolvendo, temos:
100xz + 10zy + 10xt + yt = 100yt + 10xt + 10yz + xz
Simplificando, temos xz = yt (I)
Lembrando que os números originais eram xy e zt, verifica-se que todos os pares de algarismos que atenderem a (I) possuem a referida propriedade. Assim , existem 14 possibilidades, a saber:
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12.42 = 21.24
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12.63 = 21.36
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12.84 = 21.48
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13.62 = 31.26
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13.93 = 31.39
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14.82 = 41.28
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23.64 = 32.46
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23.96 = 32.69
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24.63 = 42.36
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24.84 = 42.48
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26.93 = 62.39
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34.86 = 43.68
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36.84 =63.48
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46.96 = 64.69
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Aproveitando a dica da álgebra nos produtos notáveis, estes nos servem para efetuar cálculos mais rapidamente.
Exemplo
Quanto é 9882
Ora 9882 = 988.988 = (988+12)(988-12) + 122 = 1000.976 + 144 = 976144
Isto porque algebricamente temos
a2 = a2 - b2 + b2 = (a+b)(a-b) + b2
Assim , num outro exemplo, temos:
542 = 58.50 + 42 = 2900 + 16 = 2916
Brincando mais um pouco com os números seja uma constante C, e dois números variáveis a , b. Então, pela álgebra temos:
(C-a)(C-b) = C2 - Cb -Ca + ab = C(C-a-b) + ab
Assim, por exemplo, se tivéssemos que multiplicar 986 por 997 faríamos
986.987 = (1000-14) (1000-3) = (1000-14-3).1000 + 3.14 = (986-3).1000 + 3.14 = 983042
Ainda brincando com a álgebra e os números podemos descobrir uma maneira de calcular diretamente os quadrados dos números terminados em 5
Assim, temos que:
Se "a" representar as dezenas podemos escrever o número como: 10a + 5
Assim temos:
(10a+5)2 = 100a2 + 100a + 25 = 100a(a+1) + 25
Verificamos que a(a+1) é a multiplicação do algarismo representando as dezenas multiplicado por 100 e somado a 25, que em outras palavras significa acrescentar 25 no final do número a(a+1).
Exemplos:
752 = 7.8 && 25 = 5625
952 = 9.10 && 25 = 9025
Como se vê, poderíamos ficar brincando com os números, auxiliados pela álgebra, descobrindo as propriedades escondidas em diversas sequências núméricas. Que tal você também fazer uma exploração deste tipo e descobrir propriedades interessantes!