CURIOSIDADE DA CHINA

MÉTODO CHINÊS PARA EQUAÇÕES DO 2º GRAU

O método utilizado pelos chineses era chamado de fan-fan (fazer até aparecer). Eles anunciavam a solução assim:

Pense na solução do problema de quadrado ( a equação do 2º grau ) e acrescente o número 2. A solução aproximada do segundo problema que se formou é obtida dividindo o número resultante pela soma dos coeficientes do quadrado e do comprimento. Some este valor com a solução pensada do primeiro problema e faça o cálculo novamente até aparecer (fan-fan) um número que não se modifique.

Exemplo prático:

A área de um quadrado menos o seu lado dá vinte. Quanto mede o lado do quadrado ?
Pela álgebra usual teríamos que resolver a equação x² - x = 20 (fórmula de Bhaskara), onde ficaríamos com a raiz 5 como único valor possível para a medida do lado do quadrado.
O método chinês permitia arbitrar inicialmente o número 2 como solução. A solução verdadeira era escrita como x = 2 + d onde d representa a diferença entre a solução verdadeira (x) e a solução arbitrada (2). Este algorítimo interativo se repetia visando a convergência da solução

O procedimento era o seguinte:

Tomando a equação do problema, que era x² - x = 20, e substituindo o valor de x (nesse primeiro caso, 2+d), temos:
(2+d)² - (2+d) = 20, ou
4 + 4d + d² - 2 - d = 20, ou
d² + 3d = 18
Seguindo os passos da "receita" : a solução aproximada do segundo problema que se formou é obtida dividindo o número resultante pela soma dos coeficientes do quadrado e do comprimento. Some este valor com a solução pensada do primeiro problema. Então, fica assim:

x = 2 + (18) / (1 + 3) = 6,5
Com este novo valor (6,5), repete-se o procedimento inicial. (Pela regra, faça o cálculo novamente, até aparecer um número que não se modifique). Então:
x = 6,5 + d
(6,5 + d)² - (6,5 + d) = 20
42,25 + 13d + d² - 6,5 - d = 20
d² + 12d = -15,75

De novo:
x = 6,5 + (-15,75) / (1 + 12) = 5,28

Repetindo o processo:
(5,28 + d)² - (5,28 + d) = 20
27,87 + 10,56d + d² - 5,28 - d = 20
d² + 9,56d = -2,59

De novo:
x = 5,28 + (-2,59) / (1 + 9,56) = 5,03

Repetindo o processo:
(5,03 + d)² - (5,03 + d( = 20
25,03 + 10,06d + d² - 5,03 - d = 20
d² + 9,06d = -0,27

De novo:
x = 5,03 + (-0,27) / (1 + 9,06) = 5

Repetindo o processo:
(5 + d)² - (5+d) = 20
25 + 10d + d² - 5 - d = 20
d² + 9d = 0

De novo:
x = 5 + 0 / (1+9) = 5

Neste caso, não se faz necessário continuar, pois o valor convergiu, ou seja, ficou igual ao valor arbitrado, pois, como no algorítmo dos chineses, avançou-se até aparecer um número que não se modifique.

"Método trabalhoso - Coisa de Chinês" . Porém, motivo de muita admiração pensar que os chineses, já no ano 200 a.C., tinham noção de interação sucessiva.