Curiosidades sobre sequências numéricas
A análise das sequências numéricas nos mostra vários aspectos curiosos e históricos, muito interessantes no estudo da matemática. Vejamos algumas destas curiosidades:
a) O cálculo rápido de Gauss
Karl Friedrich Gauss foi um matemático que viveu de 1777 a 1855.
Conta-se que Gauss, quando tinha aproximadamente 9 anos de idade, surpreendeu seu professor.
O professor, querendo manter silêncio na sala de aula por longo tempo, pediu aos alunos que somassem todos os números inteiros de 1 a 100, isto é, 1+2+3+ ... + 98+99+100
Em poucos minutos Gauss deu a resposta correta com o seguinte raciocínio:
Escreveu:
1+2+3+ ... + 98+99+100
em seguida,inverteu a série:
100+99+98+ ... + 3+2+1
A seguir, somou termo a termo:
101+101+101+ ... +101+101+101
Verificou que ficou com 100 parcelas de 101, ou seja 100 x 101 = 10100
Como usou 2 vezes a sequência de 1 a 100, cada parcela de 101 entrou 2 vezes na soma. Então, dividiu o total, ouseja:
10100 / 2 = 5050
Assim, em poucos minutos deu a resposta correta surpeendendo o professor e frustando-o em pensar que teria silêncio na turma durante um longo tempo.
De forma intuitiva, Gauss resolveu o problema com a fórmula que usamos normalmente, ou seja:
S100 = ( (1+100) . 100 ) / 2 = 5050
b) A reflexão de Fibonacci
No século XIII, o matemático Leonardo de Pisa, cujo apelido era Fibonacci, visitou uma fazenda onde havia uma criação de coelhos e fez uma reflexão sobre a rápida reprodução desses animais.
Supondo que cada casal gere um novo casal, que dará origem a um novo par no segundo mês de vida, e assim sucessivamente, de mes em mes fica formada uma sequência especial de números naturais que podemos representar na seguinte tabela:
| Mês |
Casais |
No.de
casais |
Casais que
dão cria |
| 1 |
A |
1 |
|
| 2 |
A |
1 |
A |
| 3 |
A,B |
2 |
A |
| 4 |
A,B,C |
3 |
A |
| 5 |
A,B,C,D,E |
5 |
A e B |
| 6 |
A,B,C,D,E,F,G,H |
8 |
A, B e C |
| 7 |
A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M |
13 |
A, B, C, D e E |
| ... |
... |
... |
... |
Resumindo a tabela, temos:
Mês - 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,...
Casais - 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, ...
Assim, Fibonacci extraiu a sequência em que cada termo representa o número de casais de coelhos:
(0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, ...)
Essa sequência, por isso recebeu o nome de "Sequência de Fibonacci" em homenagem ao seu descobridor
Observe o seguinte nesta sequência:
a) qualquer termo, a partir do 3º , é igual a soma dos dois termos imediatamente anteriores
b) a razão entre quaisquer dois termos, a partir do 3º, é aproximadamente igual ao número aúreo (l,618...) (*)
(*) A divisão áurea ocorre quando temos a média e extrema razão, ou seja, numa divisão de um segmento de reta temos que o todo está para a maior parte assim como esta está para a menor parte
Exemplo:
Seja:
A C B
__________________
AB / AC = AC/CB = 1,618... caracteriza a divisão áurea
c) A produção de milho do reino como recompensa
Há uma lenda que diz ter um rei perguntado ao inventor do jogo de xadres o que ele queia como recompensa.
O inventor respondeu então:
1 grão de trigo pela primeira casa, 2 grãos de trigo pela segunda casa, 4 pela terceira, 16 pela quinta, e assim sucessivamente, sempre dobrando a quantia da nova casa.
O rei, apesar de ter concordado, não pode dar a recompensa ao inventor porque nem toda a produção de milho de seu reino daria o total da recompensa pedida.
A impossibilidade do rei cumprir a promessa deve-se ao seguinte cálculo:
Como o tabuleiro de xadrez tem 64 casas, o rei teria que dar a soma dos 64 primeiros termos da PG:
1, 2, 4, 8, 16, 32, ..... (onde a razãoé q=2)
Assim, teria o rei que dar:
Sn = a1(qn - 1) / ( q -1), ou seja:
S64 = 1(264-1) / (2-1) = 264 - 1 = 18446744073709551615 grãos de trigo.
Realmente o rei não poderia cumprir a promessa de recompensar o inventor.
Seja tamb�m um bom matem�tico
Um anci�o pediu a um matem�tico que o ajudasse a resolver o seguinte problema de heran�a.
Ele tinha uma quantia de 1800 r�pias (unidade de medida da �poca) e precisava dividir entre seus 4 filhos, de modo que as quantias ficassem em progress�o aritm�tica e fossem proporcionais �s idades de seus filhos.
O anci�o, muito idoso, esqueceu as idades de dois de seus filhos, lembrava apenas que o menor tinha 6 anos e o maior 66 anos.
Como o matem�tico soube as idades dos filhos e pode dizer como dividir a heran�a?